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Fractais

Floco de neve, um exemplo de fractal da natureza

Euclides enquanto caminhava por uma praia notou que a areia, apesar de ser formada por pequenos grãos, parecia uma superfície uniforme e contínua, quando vista como um todo. A partir deste momento, empenhou-se em tentar provar matematicamente que todas as formas existentes na natureza poderiam ser reduzidas a formas geométricas simples, como cubos, esferas, prismas.

Como Euclides estava demasiadamente concentrado nas formas, esqueceu-se de uma coisa deveras importante: a dimensão. Um grão de areia possui largura, comprimento e altura, três dimensões. Já a superfície da praia, quando vista como um todo, parece plana, ou seja, em duas dimensões.



Em 1935, Benoid Mandelbrot descreveu matematicamente a idéia de Euclides, porém acrescentando a idéia da dimensão. Assim, nasceu a geometria fractal.


Obviamente isso é apenas um pequenino pedaço da história.

“Nuvens não são esferas, montanhas não são cones, continentes não são círculos, um latido não é contínuo e nem o raio viaja em linha reta.”

Mandelbrot nasceu em Varsóvia, em 1924. Sua família era judia, vinda da Lituânia. Em 1936 sua família mudou-se para Paris, porém teve que fazer uma nova mudança, mas desta vez para Tulle, para antecipar-se ao nazismo. Ele e sua família sofreram muito com as dificuldades da guerra e com a opressão dos invasores. Assim que Paris foi libertada da Alemanha, Mandelbrot prestou exames para a Escola Normal e para a Escola Politécnica. Começou seus estudos na Escola Normal, devido ao seu despreparo, mas não demorou muito para ir à Escola Politécnica.


Neste período havia um grupo chamado Bourbaki, composto por um determinado número fixo de jovens matemáticos, que tinham como objetivo a busca pela reconstrução da matemática francesa. Entre estes jovens encontrava-se seu tio Szolen Mandelbrot. Este grupo buscava uma matemática pura, sem influências talvez enganosas da geometria. Sem influências do visual geométrico. Tal idéia propagou-se por diversos países chegando, inclusive, aos Estados Unidos e ao Brasil. Chegamos a ter excessos, principalmente no ensino da matemática nesta época, devido a muitos de seus adeptos um tanto fanáticos. Os princípios deste grupo viraram quase obrigação; a matemática tornou-se deveras rigorosa, seguindo o método axiomático.

Mesmo seu tio fazendo parte do Bourbaki, Benoit Mandelbrot não aguentou o predomínio da abstração matemática imposta por tal grupo, deixando, assim, a França em 1948 para ir para os Estados Unidos estudar Ciência Aeroespacial. Mais tarde conseguiu um cargo no Centro de Pesquisas Thomas Watson (IBM), trabalhando com problemas relacionados à economia.

Chegando à IBM, deparou-se com um problema de ruídos (que interferiam nos sinais e que não podiam ser eliminados) nas linhas telefônicas utilizadas entre os computadores. Como os ruídos eram irregulares e aleatórios, os engenheiros afastaram-se da busca pela solução deste problema. Porém Mandelbrot resolveu o problema empregando um trabalho, um tanto antigo, chamado de Poeira de Cantor (de Georg Cantor), pensando nos ruídos, ou seja, nos erros de transmissão, como um conjunto de Cantor.

Mandelbrot possuía recursos computacionais da IBM e pesquisou, entre outras coisas, a distribuição de pequenas e grandes rendas, em Economia. Foi convidado Por Hendrick Houthaker, professor de economia em Harvard, para proferir uma palestra e deparou-se com esquematizações semelhantes às suas, mas no quadro do colega e com dados relativos aos preços de algodão ao longo de oito anos. Mandelbrot levou estes dados ao IBM e acrescentou aos dados do Departamento da agricultura desde o ano de 1900. Assim constituiu uma grande fonte de dados para os computadores. Ele notou que as estranhíssimas estatísticas dos preços totalmente imprevisíveis, apresentavam uma maneira inesperada. Analisados ao modo Mandelbrot.

Benoit chegou à fama obtendo muitas honrarias, chegando a ocupar diversos cargos acadêmicos como o de professor em Harvard e professor de Fisiologia na Faculdade de Einstein de Medicina.




Antecedentes e o problema da fronteira

No século XIX vários objetos matemáticos com características especiais foram sendo propostos. Tais objetos eram chamados de ‘monstros matemáticos’, pois não seguiam as noções comuns de infinito e não possuíam uma explicação muito objetiva. Geog Cantor (1845-1918) introduziu uma ideia um tanto inovadora sobre o infinito. Ele propôs o seguinte problema: Há uma linha reta, da qual é removido o seu terço médio, depois o terço médio de cada um dos seguimentos restantes e assim sucessivamente, criando uma espécie de ‘poeira’, que, se fosse infinita, teria comprimento total igual a zero.

Em 1904 Helge Von Koch propôs algo parecido: uma linha rodeada por uma área finita, teria comprimento infinito. Em 1918, Gaston Julia e Pierre Fatou apresentaram um trabalho sobre Processos Interativos, o qual envolvia números complexos e que, algum tempo mais tarde, ficou conhecido como: Conjunto de Julia.



Claro que na época as imagens gráficas eram extremamente limitadas, sendo assim as imagens vieram a ser produzidas mais tarde.

Bem, todos estes objetos matemáticos possuíam coisas em comum… Todos eles possuíam ligação com o infinito e eram, de certa forma, iguais entre si, ou seja, não importava o quanto a imagem fosse ampliada, ela permanecia igual à imagem inicial. Isso é conhecido como: auto-similaridade, uma das características de um fractal.

Estes três casos matemáticos, acima citados, tiveram deveras importância no surgimento da geometria fractal, mas quem de fato introduziu a geometria fractal foi Benoit Mandelbrot, que introduziu idéia da palavra Fractus que quer dizer ‘quebrado’.

Estamos, de certa forma, familiarizados com a geometria euclidiana, ou seja, com os entes mais simples da geometria, como círculos, quadrados, triângulos, cones, etc. Mas muitas coisas encontradas na natureza não podem ser explicadas por tais figuras, sendo necessário a criação de uma teoria ‘especial’ que os explique. Como por exemplo: o padrão de formação de nuvens, a disposição dos galhos em uma árvore ou comprimento da fronteira entre Portugal e a Espanha.

Esta última é uma famosa pergunta realizada por Mandelbrot, pois ele reparou que o comprimento de tal fronteira mudava conforme o objeto de pesquisa, ou seja, era diferente em cada lugar que olhava. Em uma enciclopédia espanhola media 985,6 km; em uma portuguesa, o valor era de 1212,8 km. Já em uma enciclopédia americana, de 1958, o comprimento era de 7440 km.

Mas… Qual a razão desta discrepância? Bem, Mandelbrot descobriu que o problema estava na escala utilizada para a medição. Descobriu isso pensando na Curva de Koch, pois, assim como ela, a fronteira entre Portugal e a Espanha aumentava as suas ‘curvas’ cada vez que era feita uma aproximação. Ou seja: O perímetro da ilha aumentava, ocasionando tal diferença nos valores.

Tal comprimento até poderia ser medido com a geometria tradicional, ou seja, com a Geometria Euclidiana, mas ela sempre forneceria diferentes valores, cada um de acordo com a escala utilizada. Para problemas como este, surge, então, a Geometria Fractal.




Geometria Fractal

Geometria fractal é um ramo da matemática que estuda o comportamento e as propriedades dos fractais. Ela é utilizada para descrever casos em que a geometria tradicional falha. Como, por exemplo, para descrever “coisas” que não possuem dimensão inteira, como é o caso da curva de Koch, citada anteriormente. Uma reta é um ente unidimensional, não ocupa espaço, ou seja, não possui área, e é infinita. Porém o contorno da curva de Koch formado a partir de uma reta, possui comprimento infinito e área finita, ocupando, assim, espaço. Tal curva ocupa mais que uma dimensão, porém menos que duas. Sua dimensão é de: 1,2618

O Fractal

Fractal é uma “figura” que possui algumas características especiais, são elas: auto-similaridade e complexidade infinita.

Auto-similaridade: Não importa o quanto você amplie a figura, ela permanecerá sempre igual, ou seja, ela é igual em várias escalas diferentes. Além disso, poderíamos “cortar” um pedaço da figura e ela permaneceria idêntica à figura inicial. Resumidamente: Um pequeno pedaço é igual ao todo.

Complexidade infinita: Significa que o fractal é infinito, ou seja, é demasiadamente difícil representa-lo por completo, pois a quantidades de detalhes é infinita havendo, sempre, reentrâncias cada vez menores para ocasionar uma aproximação.

Os fractais podem ser classificados de três maneiras diferentes, em três categorias principais. Estas são determinadas pelo modo que cada fractal é gerado. São elas: Fractais de funções iteradas: são formados por uma regra fixa de substituição geométrica e possuem auto-similaridade exata, como o Tapete de Sierpinski, Esponja de Menger, Curva do dragão de Harter-Heighway, etc;



Tapete de Sierpinski


Esponja de Menger

Fractais de fuga de tempo: são definidos pela formação de fractais em cada ponto espaço, e possuem uma auto-similaridade quase exata, como o Conjunto de Mandelbrot;


Conjunto de mandelbrot

Fractais aleatórios: são gerados por processos estocásticos, ou seja, ao acaso, como é o caso dos Terrenos fractais, como o litoral da Grã-Betanha. Estes não possuem auto-similaridade muito evidente.

Modelos de fractais são encontrados frequentemente na natureza, sejam nos couves-flores, brócolis, samambaias, alguns fungos, flocos de neve ou árvores. Sejam nos vasos sanguíneos, batimentos cardíacos, crescimento de um câncer ou na economia. Estes são apenas modelos, pois estes objetos naturais possuem tamanho limitado, não tendo assim complexidade infinita. Porém “fractais” naturais podem ser modelados matematicamente em computadores, utilizando-se algoritmos de recursividade. Além da natureza eles são encontrados em grande quantidade na arte, devido às suas belas formas e cores, estas criadas a partir da computação gráfica junto à matemática, e na música.

A música fractal é resultado de um processo repetitivo no qual um algoritmo é utilizado várias vezes para fazer uma estrutura reproduzida em sons. Há alguns softwares que transcrevem uma imagem fractal para a música fractal. A música fractal vem ganhando adeptos como é ocaso de um grupo de teatro George Coates Performance Works que apresentou uma ópera na Califórnia, onde um dos temas foi totalmente reproduzido com música fractal.



Muitos modelos de fractais podem ser encontrados na natureza, como foi dito anteriormente. Alguns de forma mais visível, outros nem tanto. Couves-flores, brócolis, algumas árvores, samambaias, raios, flocos de neve. Estes são apenas alguns exemplos de “fractais naturais”.


Fractais na natureza

Experimente pegar uma couve-flor, um brócolis, uma pequena árvore ou um galho de samambaia. No primeiro e segundo caso: Se você cortar um “galhinho” da couve-flor ou do brócolis, verá que este pedaço é quase idêntico aos vegetais quando inteiros. Se você retirar um galhinho do galhinho número um, verá que este também será quase igual aos vegetais inteiros.



Couve-flor, um dos muitos exemplos de fractais naturais


Na samambaia o processo é semelhante: parta o galho ao meio. Pegue a metade do galho e parta ao meio novamente. É possível notar que as “figuras” formadas são todas praticamente iguais, em escalas diferentes, claro. Este quase da samambaia, do brócolis e da couve-flor, vem do fato de serem objetos reais e não imagens gráficas de computadores.



Folha de samambaia


Já os flocos de neve… Eles seguem o padrão de formação da curva de Koch. Cada lado do floco de neve é delimitado por uma curva de Koch. Alguns deles são formados a partir de um triângulo eqüilátero, onde cada lado é uma curva de Koch.



Cristais de gelo, fractais naturais de formas unicas


Aplicações do fractais

-Música

A música fractal tem como característica padrões repetitivos, com estruturas auto-semelhantes (como fractais mesmo), causando um som agradável aos nossos ouvidos. Phil Thompson, é um dos artistas que mais vem se dedicando a tal estilo musical.

Aqui estão alguns vídeos com a música fractal.






- Medicina

A dimensão fractal é utilizada como forma de diagnóstico quantitativo e objetivo de diversas patologias, como o câncer. Experiências experimentais mostram que células cancerosas tem dimensão fractal superior à dos tecidos normais. Um exemplo que segue esta linha é o estudo da ‘detecção de núcleos atípicos ‘. Um núcleo de controle possui dimensão 0,97. Já um núcleo atípico possuiu dimensão fractal de 1,47.

Imagens digitalizadas do epitélio cervical (em roxo) com corte transversal do núcleo (canto inferior esquerdo). À direita encontram-se as imagens dos “contornos” (Colocar na imagem acima)

Não somente núcleos atípicos seguem a dimensão fractal. O sistema circulatório, nervoso e linfático também segue tal geometria.

-Antenas

O desenho das antenas é algo um tanto complicado, pois os comuns são sensíveis apenas a determinadas frequências e são ineficientes se o seu tamanho for menor que 25% do comprimento de onda. Este é um problema que afeta, principalmente, as antenas dos celulares, pois elas precisam ser pequenas.

Quando é utilizado fractais para desenvolver uma antena, esta funciona de forma ótima em várias frequências. Antenas convencionais são destinadas à frequência em que vão operar, funcionando de forma ótima apenas para a frequência designada.

A Motorola divulgou que as antenas fractais utilizadas em seus telefones móveis são 25 % mais eficientes do que as antenas comuns.

Note que o desenho da antena é formado por uma curva de Koch.


- Misturadores

Marc-Olivier Coppens, da Universidade Técnica de Delft, desenvolveu uma forma de misturar dois fluidos, sem que aja turbulência indesejada normalmente associada ao transporte, mistura e distribuição. A mistura é feita da seguinte forma: o fluído é injetado em todas as saídas do misturador do mesmo tempo. A razão da interface entre os fluídos é significativamente em comparação à geometria tradicional.



Fractais na arte

A representação gráfica de um fractal é muito bonita, pois possui formas “diferentes” e geralmente são coloridos, sendo, assim, muito utilizado na arte. Segue abaixo algumas imagens de belíssimos fractais:

Abaixo seguem vídeos de “zoom” em fractais:


Uma ultima nota:

É possível notar a característica da auto-similaridade nestes vídeos



fonte:http://www.todateoria.com.br/fractais-parte-iv/



Algumas imagens...







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